Мы встречали новый год в Риме несколько лет назад. 1 января с утра пошли через центр к Пьцца Дель Попполо, поднялись к парку Виллы Боргезе, взяли электромобильчик и карались по парку. На входе в парк работал каток. До сих пор вспоминаю яркое солнце, зелень, каток, безмятежные лица вокруг и ощущение счастья.
В другой день мы прошли по Аппиевой дороге, а на обратном пути пообедали в потрясающе вкусном ресторане в ее начале.
Пожалуй, это самые яркие впечатления от Рима, хотя вроде ни музеев, ни соборов в эти дни не посещали.
Мне кажется, оба варианта хороши для 1 января.

Не совсем понятно, что именно в Риме Вы намерены показать детям.
Ведь Рим буквально насыщен достопримечательностями, они буквально на каждом шагу, очередной визит в Вечный город всегда открывает что-то новое.

А по поводу экскурсии в другой город, то, раз уж присмотрели Перуджу, туда и поезжайте.
Можно совместить Перуджу с Ассизи (они же рядом).
Но это не деревни какие-то, а величайшие умбрийские города, настоящие памятники истории и искусства мирового значения.
Вначале можно приехать в Ассизи - родину Святого Франциска (что очень легко из Рима), совершить экскурсию по городу и заночевать либо в Ассизи, либо в Перудже.
Чтобы на следующий день осмотреть Перуджу - город на высоченных холмах.
В Перудже есть художественный музей высочайшего класса с уникальными работами мастеров треченто и кватроченто, но, думаю, что в праздничные дни будет закрыт.

Ну Вы, как сейчас моно говорить, "Блин, даёте!"
Вам выпало счастье иметь квартиру в Риме на это время, а Вы думаете о том, чтобы уехать на какое-то время?
Нигде Вы нормальное жильё, ради которого стоит уезжать, не найдёте по вменяемым ценам!

Не верьте банальным историям - никакие старые диваны и шкафы на ваши головы в Риме в новогоднюю ночь падать не будут.   Да, будет весело, шумно, очень многолюдно, но на Новый год чего ещё ждать?
Не понимаю, где вообще можно думать о встрече Нового года в ресторане с детьми 7 и 12, а дома Вы можете устроить настоящий кулинарный праздник (а себе и винный ), попользовавшись благами рынков и магазинов (сходите накануне в Eataly, например), а до и после погулять по Вечному городу.

Угробите кучу времени. Оба места - чудесны, но в этом случае не оптимальны.
Уж если тянет из Рима - есть Тиволи (проверить надо работают ли виллы-музеи в городе) и Орвието (Катедрале уж точно будет открыт, а фрески Синьорели детям даже будут интересны как "комиксы"). Доехать несложно и туда и туда (Орвието дольше).
Хотите гулять на природе - Остия Антика (не лучшее время конец декабря, но всё равно).
Надо учесть, что уже 1-го итальянцы начнут разъезжаться по домам и поезда будут заполнены.
Почитайте про Лацио на форуме!

поддерживаю, сама хотела предложить Орвието или Витербо

да шучу я