теперь, разрешите мне вставить свои 5 копеек

Имейте ввиду - Израиль не самое идеальное место для чисто пляжного отдыха, хотя с другой стороны в октябре в Турции уже холодно.

во-первых дата - 10 октября. Время самое что ни на есть удачное.  10 октября заканчивается череда еврейских праздников и соответственно снижается загруженность гостиниц, так что с 11 октября можно планировать поездку.
во-вторых - Мертвое море. С годовалым ребенком туда лучше не соваться. Маленькие дети зачастую плохо реагируют на тамошний климат (как никак более 200 метров ниже уровня моря) да и делать там с такими детьми нечего.
в-третьих - на Стредиземном море есть 2 варианта (которые попадают под Ваши критерии) - Тель Авив и Бат Ям. Тель Авив по всем показателям круче (город без перерыва, где жизнь бьет ключом 24 часа в сутки), преимущества Бат Яма: экономическая составляющая, спокойнее, пляжи лучше и чище (в октябре в будни там вообще людей не будет). Бат Ям и Тель Авив расположены на расстоянии всего 5 км один от другого.
в-четвертых - Эйлат. вот здесь вообще можно весь форум исписАть - возможностей море. на клочке земли более 70 отелей. Из указанных уже здесь отелей: Орхидея - очень романтичный отель, но на мой взгляд, не очень Вам подходит. С ребенком лучше селиться в самом городе. Эродс подходит Вам  на 100%, огромная территория с бассейном для маленьких детей, в каждом номере мини кухня (что с годовалым ребенком важно), все великолепно кроме цены, ну ооооочень дорого.

Более подробно об отелях Тель Авива и Бат Яма напишу завтра. По поводу Эйлата, напишите подробней что для вас является критическим в выборе отеля, тоже что нибудь посоветуем.